Duration e Convexidade

A Duration pode ser explicada de várias maneiras, simplesmente será uma medida de tempo relativa ao prazo de pagamento do título que o investidor está comprando.

Formalmente a Duration de Macaulay é a média ponderada do tempo de recebimento de um título que alguém detém. Para obter a Duration de Macaulay é necessário trazer cada valor de Fluxo de Caixa futuro a Valor Presente pela taxa que o título oferece no momento do cálculo.

Em títulos Bullet (títulos sem cupons intermediários), a Duration será exatamente o período de hoje até o vencimento, pois só existe o Fluxo de Caixa do Valor de Face do título trazido a Valor Presente pela taxa ofertada no dia. Já em títulos com cupons intermediários, a Duration de Macaulay sempre será inferior ao prazo de vencimento em anos deste papel.

Em títulos que existe o pagamento de cupons a Duration será menor, pois o prazo médio de recebimento dos pagamentos do título será diluído entre vários momentos no tempo, mesmo que cada um dos cupons seja menor isso irá impactar bastante a duração média destes pagamentos.

Formalmente a Duration de Macaulay pode ser definida como:

O tempo pode ser interpretado de diversas maneiras, se for utilizado como a quantidade de dias até cada fluxo de pagamentos você irá obter a duration em dias de um título, caso seja utilizado como a porcentagem de anos (dias até o fluxo dividido pelos dias totais em um ano) a duration obtida será em anos. Caso exista mudança de tipo de tempo utilizado a taxa de juros do título deverá ser convertida para representar o novo tempo utilizado.

Exemplo: Se você tem uma taxa anual de 12% e quer utilizar a quantidade de dias para calcular os juros na duration, a taxa a ser usada é [(1+12%)^(1/252)-1], ou seja, a taxa que representa 1 dia dentre todos os 252 dias úteis de um ano, sendo 0,04498% a taxa diária.

Outra possível interpretação para a duration, além das duas já apresentadas, é a de que o cálculo para atingir o seu valor gera uma medida de risco que demonstra a sensibilidade do preço do título dada uma variação da taxa de juros deste. Sendo a variação do título descrita pelo valor inverso da duration multiplicado por 1%.

Exemplo: Se um título tem 5 de duration e a sua taxa de juros variar 1% o seu preço irá variar 5*1% = 5%.

Esta é uma boa aproximação para pequenas variações na taxa de juros. Por se tratar de uma aproximação linear de primeira ordem, a duration irá ser uma reta tangente à curva de preço-taxa do título e, deste modo, em variações maiores da taxa de juros a sua aproximação não irá ficar muito próxima da realidade. No gráfico a seguir faço um exemplo numérico utilizando uma LTN, variando sua taxa a partir de um ponto inicial onde i = 6,33% (cotação da LTN2025 em 12/12/2019).

Mostra-se nítido o tamanho do erro da duration de macaulay quando as taxas de juros variam muito em relação ao ponto inicial de análise, na parte direita do gráfico.

DURATION MODIFICADA

A Duration Modificada busca aproximar o conceito para títulos que possuam Duration de Macaulay grandes, causando uma maior volatilidade do seu preço com qualquer modificação na taxa de juros paga pelo título.

O seu cálculo é feito essencialmente do mesmo modo da Duration de Macaulay, entretanto a modificação desta medida de risco é feita na parte final do cálculo:

Onde YTM = Yield to Maturity ou, em português, TIR.

O erro da Duration Modificada em variações maiores da taxa de juros é, nitidamente, menor do que a Duration de Macaulay.

CONVEXIDADE

Convexidade é uma aproximação de segunda ordem que tenta utilizar métodos mais complexos para tender mais ainda ao desenho da curva Preço-Taxa já apresentada, sem que o investidor necessite calcular o preço do título para cada taxa de juros em um dado momento do tempo. A sua formulação vem de uma expansão de Taylor e é apresentada de maneira simplificada por:

Diferentemente da estimativa de preço com base nos dois tipos de duration a aproximação por convexidade requer um ajuste de preço um pouco mais complexo no qual podemos achar a variação percentual estimada do preço pelo seguinte método:

Visto que a variação percentual do preço é determinada por esta equação, o preço novo após o ajuste será igual a:

* A única “alteração” em relação ao glossário já existente das fórmulas de duration é a de que P = Preço de compra atual do título, para reduzir a fórmula em extensão e deixá-la mais visual.

-M.R.